Notação

\(T\):  Tempo atual

\(t\):  Índice do tempo, variando em \(\{1,2, ..., T+H\}\)

\(D\):  Atraso máximo relevante

\(d\):  Índice do atraso, variando em \(\{0, 1, ..., D\}\)

\(n_{t,d}\):  Número de eventos ocorridos no tempo \(t\) registrados após \(d\) unidades de tempo

\(N_{t} = \sum_{d=0}^{D} n_{t,d}\):  Número total de eventos ocorridos no tempo \(t\)

Estrutura da base de dados

Estrutura da base de dados

Por definição,

\[N_{t} = \sum_{d = 0}^{D} n_{t,d}\]

E, consequentemente,

\[n_{t,d} = N_{t} - \sum_{d = 1}^{D} n_{t,d}\] para \(t = 1, ..., T\) e \(d = 0,1,...,D\).

Ou seja, a partir dos dados para  \(d = 1,...,D\)  podemos obter os valores de  \(n_{t,d=0}\).   Dessa forma, não é possível ajustar um modelo para todos os atrasos.

Por isso, vamos ajustar o modelo para  \(n_{t,d}\)  de  \(d = 1,...,D\)  e  \(N_{t}\)  com  \(t = 1, ..., T+H\).

Estrutura dos casos reais de dengue

Modelo proposto com estrutura de atraso independente

No modelo com estrutura de atraso independente cada atraso distinto de notificação foi ajustado conforme as especificações abaixo.

Modelo proposto para os dados:

\[\begin{align} & n_{t,d} \sim Poisson(\lambda_{t,d}) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; N_{t} \sim Poisson(\theta_{t}) \\ \\ & log(\lambda_{t,d}) = \alpha_{t,d} \\ \\ & exp(\alpha_{t,d}) = \dfrac{a_{d} \; c_{d}\; f_{d}\; \exp(-c_{d}\;t)} {[b_{d} + \exp(-c_{d}\;t)]^ { f_{d} + 1} } \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; exp(\theta_{t}) = \dfrac{a \;c \;f \exp(-c\;t)}{[b + \exp(-c\;t)]^ { f + 1} } \\ \end{align}\]

Para  \(t = 1, ..., T+H\)  e  \(d = 1,...,D\).

Distribuições a priori:

\[\begin{align} & a_{d} \sim Gama(0.1, 0.1) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; a \sim Gama(0.1, 0.1) \\ & b_{d} \sim Normal(0, \sqrt{20}) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b \sim Normal(0, \sqrt{20}) \\ & c_{d} \sim Gama(2, 9) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; c \sim Gama(2, 9) \\ & f_{d} \sim Gama(0.01, 0.01) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f \sim Gama(0.01, 0.01) \\ \end{align}\]

Densidades das distribuições a priori

Estimativas iniciais com estrutura de atraso independente

Modelo proposto com estrutura conjunta de atraso na notificação

Modelo proposto para os dados:

\[n_{t,d} \sim Poisson(\lambda_{t,d}) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; N_{t} \sim Poisson(\theta_{t})\]

\[log(\lambda_{t,d}) = \alpha_{t} + \beta_{d} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \]

\[exp(\alpha_{t}) = \dfrac{a_{\alpha}\; c_{\alpha}\; f_{\alpha} \exp(-c_{\alpha}\;t)} {[b_{\alpha} + \exp(-c_{\alpha}\;t)]^ { f_{\alpha} + 1} } \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \theta_{t} = \dfrac{a_{\theta}\; c_{\theta}\; f_{\theta} \exp(-c_{\theta}\;t)} {[b_{\theta} + \exp(-c_{\theta}\;t)]^ { f_{\theta} + 1} }\]

\[t = 1, ..., T+H \;\;e\;\; d = 1, ..., D \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; t = 1, ..., T+H\]

\[\beta_{d} = \gamma d \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \]

Distribuições a priori:

\[a_{\alpha} \sim Gama(0.1, 0.1) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; a_{\theta} \sim Gama(0.1, 0.1) \]

\[Exp(b_{\alpha}) \sim Normal(0,\sqrt{20}) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; Exp(b_{\theta}) \sim Normal(0,\sqrt{20})\]

\[c_{\alpha} \sim Gama(2, 9) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; c_{\theta} \sim Gama(2, 9) \]

\[f_{\alpha} \sim Gama(0.01, 0.01) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f_{\theta} \sim Gama(0.01, 0.01) \]

\[\gamma \sim Normal(0,100) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \]

Destaca-se que:

\[\theta_{t} > \sum_{d = 1}^{D} \lambda_{t,d}\]

Estimativas com estrutura conjunta de atraso na notificação

Comparando quantidades reais e estimadas por atraso na notificação

Comparação dos modelos com estrutura independente e conjunta de atraso na notificação

Erros de estimação e previsão

De acordo com o modelo ajustado devemos avaliar o erro de estimação pata \(t = 1,..., T\) e o erro de previsão para \(t = T, ..., T+H\). Uma forma de contabilizar esses erros é através das métricas MAE e RMSE.

Mean Absolute Error Estimation (MAE):

\[\frac{\sum_{t = 1}^{T} |\hat{\theta_{t}} - \theta_{t}|}{T} \]

Root Mean Squared Error Estimation (RMSE):

\[\sqrt{ \frac{\sum_{t = 1}^{T} (\hat{\theta_{t}} - \theta_{t})^2}{T} }\]

Mean Absolute Error Prevision (MAE):

\[\frac{\sum_{t = T}^{T+H} |\hat{y_{t}} - y_{t}|}{H} \]

Root Mean Squared Error Prevision (RMSE):

\[\sqrt{ \frac{\sum_{t = T}^{T+H} (\hat{y_{t}} - y_{t})^2}{H} }\]

O MAE e RMSE medem a magnitude média dos erros em um conjunto de previsões.

O RMSE dá um peso maior para erros grandes. Além disso, o RMSE sempre será maior ou igual ao MAE e quanto maior a diferença entre eles, maior a variância dos erros individuais nos dados. Se MAE = RMSE, então todos os erros são da mesma magnitude.

Erros de estimação e previsão

Avaliando convergência dos parâmetros

Referências

MAE e RMSE: https://resources.eumetrain.org/data/4/451/english/msg/ver_cont_var/uos3/uos3_ko1.htm#:~:text=The%20MAE%20is%20a%20linear,weighted%20equally%20in%20the%20average.&text=The%20RMSE%20is%20a%20quadratic,in%20both%20of%20the%20references.